函数极限与数列极限的关系

数列的极限:数列中的所有项都趋近于或等于一个数. 数列有界:任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列. 关系: 1.有极限必有界. 2.有界不一定有极限. 3.有界单调数列是有极限的.

1.数列的收敛可以推导出来极限存在,而极限存在也可以推导出数列是收敛的,两者互为充要条件: 2.极限存在就是极限是某一个确定的值而非无穷大: 3.数列的收敛就是极限为某一个值: 4.证明数列收敛的题目不需要求出数列极限,只需要证明极限存在即可.

数列极限标准定义:对数列{xn},若存在常数a,对于任意ε>0,总存在正整数N,使得当n>N时,|xn-a|&ε成立,那么称a是数列{xn}的极限. 数列极限如何进行证明 证明:对任意的ε>0,解不等式 │1/√n│=1/√n&ε 得n>1/ε2,取N=[1/ε2]+1. 于是,对任意的ε>0,总存在自然数取N=[1/ε2]+1. 当n>N时,有│1/√n│&ε 故lim(n->∞)(1/√n)=0.

数列极限的求法: 1.初等变形求极限:对于某些较烦的数列,可用初等数学的方法将其变形,转化为一个简单的数列,然后再对之求极限: 2.利用变量替换求极限:有时为了将已知的极限化简,转化已知的极限,可根据极限式的特点,适当引入新变量,已替换原有的变量,使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程: 3.两边夹定理求极限:当一数列极限不易直接求出时,可考虑将求极限的数列做适当的放大和缩小,使放大,缩小所得的新数列易于求极限,且两端的极限值相等,则原数列的极限值存在,且等于它们的公共值: 4.利用数列的

数列极限存在的条件是对任意给定的ε>0,有一正整数N,当m,n>N时,有|xn-xm| 在有了极限的定义之后,为了判断具体某一数列或函数是否有极限,人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后,终于由法国数学家柯西(Cauchy)获得了完善的结果.

数列极限几何意义是存在一条水平的直线,这条直线就是渐近线=asymptote.数列有极限,在几何图形上是无穷多个点,这些点形成了一个趋势,要么向上渐渐趋近于一条水平直线,要么向下渐渐趋近于一条水平直线. 这条水平线是我们根据趋势自然而然地想象出来的.如果极限值不存在,可能性是:可能是一条斜渐近线Obliqueasymptote,也可能是竖直渐近线verticalasymptote:也可能是无穷个离散的点((discretepoints).

1.直接取极限: 2.不定形要变形: 3.运用极限的运算法则. 数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分,同时,极限的理论也是高等数学的基础之一.数列极限的问题作为微积分的基础概念,其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义.

数列极限的几何意义是: 1.存在一条水平的直线,这条直线就是渐近线: 2.数列有极限,在几何图形上是无穷多个点: 3.这些点形成了一个趋势,这个趋势就是,这些点向上渐渐趋近于一条水平直线或者向下渐渐趋近于一条水平直线: 4.这条水平线是我们根据趋势自然而然地想象出来的: 5.如果极限值不存在,可能是一条斜渐近线,也可能是竖直渐近线,也可能是无穷个离散的点.

函数连续和可导的关系:如果函数y=f(x)在点x处可导,则函数y=f(x)在点X处连续,反之,函数y=f(x)在点x处连续,但函数y=f(x)处不一定可导. 关于函数的可导导数和连续的关系 1.连续的函数不一定可导. 2.可导的函数是连续的函数. 3.越是高阶可导函数曲线越是光滑. 4.存在处处连续但处处不可导的函数. 左导数和右导数存在且"相等",才是函数在该点可导的充要条件,不是左极限=右极限(左右极限都存在).连续是函数的取值,可导是函数的变化率,当然可导是更高一个层次.