特征向量和基础解系有什么关系

特征向量是特征值对应齐次方程组的基础解系.矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一,它有着广泛的应用.数学上,线性变换的特征向量(本征向量)是一个非简并的向量,其方向在该变换下不变.该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值(本征值).齐次线性方程组的解集的极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.基础解系是线性无关的,它的线性组合表示出该方程组的任意一组解,是针对有无数多组解的方程而言的.基础解系并不唯一,不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系.

基础解系和解向量关系:齐次线性方程组的解中的一些特殊解,这些解能表示出所有解,并且个数最少,基础解系是指方程组的解集的极大线性无关组,即若干个无关的解构成的能够表示任意解的组合. 基础解系需要满足三个条件: (1)基础解系中所有量均是方程组的解. (2)基础解系线性无关,即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示. (3)方程组的任意解均可由基础解系线性表出,即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示.值得注意的是:基础解系不是唯一的,因个人计算时对自由未知量的取法而异.

基础解系是针对有无数多组解的方程,若是齐次线性方程组则应是有效方程的个数少于未知数的个数,若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,且都小于未知数的个数. 对于一个方程组,有无穷多组的解来说,最基础的,不用乘系数的那组方程的解,如(1,2,3)和(2,4,6)及(3,6,9)以及(4,8,12)等均符合方程的解,则系数K为1,2,3,4等,因此(1,2,3)就为方程组的基础解系. A是n阶实对称矩阵, 假如r(A)=1.则它的特征值为t1=a11+a22+ann,t2=t3=tn=0;对应于t

性质不同:特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子,特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间,还包括零向量.基础解系针对有无数多组解的方程而言,若是齐次线性方程组则应是有效方程的个数少于未知数的个数,若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,且都小于未知数的个数. 基础解系是对于方程组而言的,方程组才有所谓的基础解系,就是方程所有解的"基".特征值向量对于矩阵而言的,特征向量有对应的特征值,如果Ax＝ax,则x就是对应于特征值a的特征向量

极大无关组是基础解系,极大无关组是从向量的角度来说的,基础解系是从方程组来说的,极大线性无关组(maximallinearlyindependentsystem)是在线性空间中拥有向量个数最多的线性无关向量组. 极大线性无关组是线性空间的基对向量集的推广.设V是域P上的线性空间,S是V的子集.若S的一部分向量线性无关,但在这部分向量中,加上S的任一向量后都线性相关,则称这部分向量是S的一个极大线性无关组.V中子集的极大线性无关组不是惟一的,例如,V的基都是V的极大线性无关组.它们所含的向量个数(

区别主要是:解向量指的是方程组的解,而基础解系是在齐次线性方程组的解里面的一些特殊解,同时这些解还能表示出所有的解,并且个数还是最少的,基础解系是在有无数多组解的方程的情况下讨论的. 解向量是线性方程组的一个解.因为一组解在空间几何里可以表示为一个向量,所以叫做解向量.解向量在矩阵和线性方程组中是常用概念.如果n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩R(A)=r 基础解系是指方程组的解集的极大线性无关组,即若干个无关的解构成的能够表示任意解的组合.

基础解系的求法: 设n为未知量个数,r为矩阵的秩.只要找到齐次线性方程组的n-r个自由未知量,就可以获得它的基础解系. 例如:我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形,那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端,其余n-r个未知量移到等式右端,再令右端n-r个未知量其中的一个为1,其余为零,这样可以得到n-r个解向量,这n-r个解向量构成了方程组的基础解系.

先求出齐次或非齐次线性方程组的一般解,即先求出用自由未知量表示独立未知量的一般解的形式,然后将此一般解改写成向量线性组合的形式,则以自由未知量为组合系数的解向量均为基础解系的解向量.由此易知,齐次线性方程组中含几个自由未知量,其基础解系就含几个解向量. 基础解系是指方程组的解集的极大线性无关组,即若干个无关的解构成的能够表示任意解的组合.基础解系需要满足三个条件: (1)基础解系中所有量均是方程组的解. (2)基础解系线性无关,即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示. (3)方程组的任意解均可

线性代数特征方程的解系个数的求法: 1.特征方程求出特征值λ以后代入即可,如λ=2. 2.然后解齐次线性方程组(2E-A)X=0即可. 3.解齐次线性方程组一般用初等行变换法. 线性代数是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组.向量空间是现代数学的一个重要课题.因而,线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中.通过解析几何,线性代数得以被具体表示.